3.1 Der reibungsfreie harmonische Oszillator

Im einfachsten Fall lautet die Bewegungsgleichung (3.1)

d.h. ein harmonischer Oszillator ohne Reibung und äußeren Antrieb. Als Ansatz für die Lösung betrachten wir

und setzen in die Bewegungsgleichung ein

Diese Gleichung muss für alle erfüllt werden, was nur möglich ist, wenn

ist. Die Lösung dieser charakteristischen Gleichung ist rein imaginär

und man erhält somit zwei linear unabhängige Lösungen

Diese beiden Lösungen nennt man das Fundamentalsystem der Differentialgleichung (3.2). Wegen der Linearität der Bewegungsgleichung ist jede beliebige Superposition der Fundamentallösung ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung, also

Dies ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (3.2). Sie stellt eine Lösungsschar dar als Funktion der Parameter und . und sind Integrationskonstanten, die wir im Prinzip durch die zweifache formale Integration der Differentialgleichung (3.2) erhalten haben. Um aus der Lösungsschar eine physikalische Lösung zu erhalten, müssen wir die Anfangsbedingungen der Bewegung berücksichtigen

Einsetzen in die allgemeine Lösung ergibt

Daraus erhält man

Damit haben wir als physikalische Lösung des harmonischen Oszillators

Diesen Ausdruck können wir umformen, denn mit

gilt für (3.3)

Wir sehen also, dass die Lösung (3.3) reell ist und somit einen physikalisch beobachtbaren Bewegungsablauf beschreibt. Die Lösung lässt sich aber noch in einer dritten Form angeben. Ausgehend von der reellen Form erhält man mit Hilfe des Kosinussatzes

durch Koeffizientenvergleich

Bemerkungen:

(i)

Die verschiedenen Formen der Lösung (3.3) sind identische Beschreibungen der Bewegung eines freien (ungedämpft und ohne äußeren Antrieb) harmonischen Oszillators: der Massenpunkt oszilliert mit konstanter Amplitude und Frequenz. Charakteristisch für die harmonische Bewegung ist, dass die Frequenz unabhängig von der Amplitude ist.

(ii)

Die letzte Form zeigt, wie sich die Lösungen abhängig von den Anfangsbedingungen unterscheiden können: Amplitude A und Phase sind direkt von den Anfangsbedingungen abhängig,

Abbildung 3.3: Lösung des freien harmonischen Oszillators.

Beispiel

B3.1 Berechne die Bewegung des horizontalen Federpendels.

Die Masse wird um mit einer Kraft von aus der entspannten Federposition ausgelenkt und dann losgelassen.

Abbildung 3.4: Federpendel

Lösung:

a)

Berechne Federkonstante k:

b)

Berechne Frequenz :

c)

Berechne A und aus den Anfangsbedingungen:

Das Weg-Zeit-Gesetz lautet somit

3.1.1 Energie des freien harmonischen Oszillators

Da die Rückstellkraft konservativ ist, ist die totale mechanische Energie erhalten und es gilt (E:Gesamtenergie, T:kinetische Energie, U:potentielle Energie)

Durch Einsetzen der Lösung haben wir so im Retrospekt bewiesen, dass E eine Erhaltungsgröße ist. Das wird im Oszillator dadurch erreicht, dass kinetische Energie und potentielle Energie gegenphasig oszillieren