3 Oszillatoren

Oszillatoren haben in allen Bereichen der Physik deshalb eine so große Bedeutung, weil die Potentialfunktionen energieerhaltender Systeme in der Nachbarschaft von Gleichgewichtslösungen durch ein Oszillatorpotential approximiert werden können. In erster Näherung ist das Oszillatorpotential quadratisch und damit die Kraft linear. Diese spezielle Form eines Oszillators mit linearem Kraftgesetz nennt man ''harmonischen Oszillator''. Wir werden sehen, dass für harmonische Oszillatoren kennzeichnend ist, dass die Frequenz unabhängig von der Amplitude ist.
Charakteristisch für die Oszillatorbewegung ist, dass die Kraft auf den Massenpunkt immer auf den Ort der Gleichgewichtslösung hingerichtet ist: aus diesem Grund nennt man die Kraft ''die Rückstellkraft''. Neben der Rückstellkraft wird der Oszillator durch Reibungskräfte und möglicherweise durch eine zeitabhängige äußere treibende Kraft beeinflusst,

In der Mechanik wird der harmonische Oszillator realisiert durch z.B. das horizontale Federpendel (Abb. 3.1)

Abbildung 3.1: Horizontales Federpendel

oder das mathematische Pendel (Abb. 3.2),

Abbildung 3.2: Mathematisches Pendel. Bei kleinen Ausschlägen gilt und für das Bogenelement

beide in ihrer jeweils linearisierten Form. Für das Federpendel findet man

wobei k (die Federkonstante) ein Maß für die Stärke der Feder darstellt. Für das mathematische Pendel ist die Rückstellkraft

zunächst nichtlinear. Bei kleinen Ausschlägen gilt aber

und somit

Die Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit und der Bewegung entgegengerichtet, also (Reibungskoeffizient )

Die antreibende Kraft ist nur zeitabhängig und überträgt mechanische Energie auf das Pendel. Als Bewegungsgleichung ergibt sich somit generisch für alle harmonischen Oszillatoren

Entscheidend ist die lineare Rückstellkraft. Mathematisch handelt es sich bei (3.1) um eine gewöhnliche, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Man nennt sie homogen für , sonst inhomogen. Diese Begriffe sind wichtig für die weitere Diskussion.