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Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt am sichersten mit der Cramerschen Regel: Sei eine Matrix mit     und eine einspaltige Matrix (Vektor), gilt für die Lösung     des Gleichungssystems       :

wenn diejenige Matrix ist, die entsteht, wenn man in die i-te Spalte durch ersetzt. Zur Klassifikation der möglichen Lösungen untersuchen wir die Determinante der Matrix .

   

a)

Für  (eine der beiden Lösungen von ) kann das Gleichungssystem zu einem Widerspruch geführt werden, indem die erste Gleichung mit 3 multipliziert und von der zweiten Gleichung abgezogen wird. Das widerspricht nun Gleichung 3, folglich existiert gar keine Lösung.

b)

Für ist die zweite Gleichung offensichtlich die Summe der ersten und dritten Gleichung und damit linear abhängig und das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Die beiden verbleibenden Gleichungen und lassen -viele Lösungen zu, da zu jedem -Wert ein Wertepaar und gefunden werden kann, das die Gleichungen erfüllt.

c)

Eine eindeutige Lösung existiert, falls     ist, also für und  .