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a)

Die Laplace-Gleichung lautet in Kugelkoordinaten:

Setzt man den Produktansatz

in die obige Differentialgleichung ein, so erhält man

Multiplikation mit ergibt

Ähnlich wie in der vorhergehenden Aufgabe, wählt man

Einsetzen dieser Lösung und Division durch ergibt die beiden Differentialgleichungen für und

Substituiert man , so erhält man aus der ersten Gleichung die verallgemeinerte Legendre-Differentialgleichung

die für in die Legendre'sche Differentialgleichung übergeht:

Einsetzen der Reihenentwicklung für ergibt:

Damit diese Summe verschwindet, muss der Koeffizient jeder Potenz von verschwinden. Betrachten wir die jeweils niedrigste Potenz in , so gilt für

Im allgemeinen Fall ergibt Koeffizientenvergleich die Rekursionsformel

Man sieht leicht, dass die beiden vorherigen Beziehungen äquivalent sind. Man braucht also nur entweder oder ungleich Null zu wählen. Im ersten Fall hat man die Wurzeln und , die eine gerade () bzw. ungerade () Potenzreihe in liefern. Da man eine beschränkte Lösung für sucht, soll die Potenzreihe abbrechen. Da und ganze Zahlen sind, bricht die Rekursionsformel nur ab, wenn auch eine ganze, positive Zahl ist. Wenn gerade (ungerade), bricht nur die () Reihe ab. Die so erhaltenen Polynome in werden derart normiert, dass sie für gleich eins sind. Die normierten Polynome heißen Legendre-Polynome der Ordnung .

b)

Die Legendre-Polynome erfüllen die Differentialgleichung

Multiplikation mit und Integration über

Partielle Integration des ersten Terms ergibt

Vertauscht man in dieser Gleichung mit und subtrahiert die neue von der alten Gleichung, so ergibt sich:

Falls muss das Integral verschwinden, damit die Gleichung erfüllt ist. Im Fall kann man sofort sehen, dass das Integral endlich ist. Damit ist die Orthogonalität der bewiesen.