[FAQ][Physik-FAQ][2002-10] (V 13; R 2; 2002-10-17) ============================================================== Eine Fassung dieser FAQ ist auch im Web zu finden unter: http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/anettes-faq/anettes-faq.txt 0 INHALT ============================================================== 0 INHALT 1 FRAGEN UND ANTWORTEN 1. 1 Vergrößert sich die Masse eines bewegten Körpers? 1. 2 Warum vertauscht ein Spiegel "Rechts" und ...? 1. 3 Wie entsteht Hawking-Strahlung am Schwarzen Loch? 1. 4 Wie entsteht Anziehung durch Teilchenaustausch? 1. 5 Was ist Entropie? 1. 6 Was ist MWI? 1. 7 Was ist ein Skalar? 1. 8 Was ist ein Vektor? 1. 9 Was ist ein Tensor? [NEU] 1.10 Ist Gravitationsabschirmung durch eine sich dreh...? 1.11 Schnellere Körper erhalten im Feld mehr Energie? 1.12 Wie wird das Zwillingsparadoxon aufgelöst? 2 ANHANG 2. 1 Quellen 2. 2 Personen 2. 3 Formelzeichen (Symbolverzeichnis) 2. 4 Abkürzungsverzeichnis 2. 5 Zu dieser FAQ 3 ERGAENZUNGEN 3. 1 Ergaenzungen zum Tensorbegriff und -produkt (FAQ 1.9) 3. 1. 1 Die Universelle Eigenschaft 3. 1. 2 Konstruktion des Tensorproduktes 3. 1. 3 Beispiel zur Konstruktion des Produktes 3. 1. 4 Kovektoren, Summenkonvention und Varianztyp 3. 1. 5 Tensoralgebra 3. 1. 6 Koordinaten linearer Abbildungen 3. 1. 7 Tensorprodukt aus R @ R 3. 1. 8 Tensorprodukt aus R^2 @ R^2 3. 1. 9 Anhang: Beispiel R^3 @ R^3 3. 1.10 Anhang: Beispiel (R^3)* @ (R^3) 3. 1.11 Anhang: Beispiel (R^3)* @ (R^3)* 1 FRAGEN UND ANTWORTEN ============================================================== 1.1 Vergrößert sich die Masse eines bewegten Körpers? -------------------------------------------------------------- Die Sichtweise, auf der diese Frage beruht, sieht man heute als veraltet an. Früher hatte man einen bestimmten Term zur Masse gezählt und sprach daher von einer "Vergrößerung der Masse". Die Masse eines Körpers ist nach heutiger Konvention dessen Energie im Ruhsystem seines Schwerpunktes, wobei man im SI- Einheitensystem noch durch " c ^ 2 " teilen muß. Das kommt in der berühmten Formel " E = m c ^ 2 " zum Ausdruck, die eigentlich nur soviel besagt wie " E = m ". Diese Masse nannte man früher Ruh[e]masse und heute einfach nur noch "Masse". Sie ist eine skalare Größe (siehe auch 1.7), d.h. sie ist relativistisch invariant. Wenn ein Körper beschleunigt wird, dann ändert sich sein Impuls, seine Geschwindigkeit und seine Energie, jedoch nicht seine Masse. Der Energie-Impuls-Zusammenhang eines Teilchens mit der konstanten Masse " m " ist " E ^ 2 = ER ^ 2 + EP ^ 2 ", dabei ist der Ruhterm (Masseterm) " ER := m c ^ 2 " und der Impulsterm " EP := c P ". In Einheiten mit " c = 1 " schreibt sich diese Beziehung einfach als " E ^ 2 = m ^ 2 + P ^ 2 ". Die Masse eine Systems aus mehreren Körpern wächst tatsächlich, wenn die einzelnen Körper sich schneller relativ zueinander bewegen (Temperatur): Wenn es bei mehreren Körpern kein Inertialsystem gibt, in dem sie alle ruhen, dann ist die Energie in dem Inertialsystem minimaler Energie immer noch höher als in einer Situation, in der alle Körper gleichzeitig ruhen. Zur Gesamtenergie trägt bei mehreren Körpern auch eine eventuell vorhandene Bindungsenergie bei (Massendefekt). http://www.google.com/search?q=Ruhemasse+invariant 1.2 Warum vertauscht ein Spiegel "Rechts" und "Links", aber nicht "Oben" und "Unten"? -------------------------------------------------------------- Ein vor einem Betrachter stehender Spiegel vertauscht gar nicht "Rechts" und "Links", sondern "Vorne" und "Hinten". Ob ein Sprecher "Links" und "Rechts" als vertauscht ansieht, hängt vom Vergleichsbild ab. Hebt ein Beobachter seine linke Hand, so hebt sein Spiegelbild die vom Beobachter aus gesehen ebenfalls /linke/ Hand, aber /des Spiegelbildes/ rechte Hand. Die Vertauschung entsteht also erst dann, wenn man sich in das Spiegelbild hineinversetzt. Ein Text erscheint im Spiegel in Spiegelschrift, weil er schon so gehalten werden muß, um im Spiegel gesehen werden zu können, wie man sieht, wenn man einmal einen Text auf Klarsichtfolie vor einen Spiegel hält. Aus Sicht der analytischen Geometrie bewirkt ein Spiegel in der x-y-Ebene die Abbildung " ( x , y , z ) |--> ( x , y , - z ) ", wenn man das gesehene virtuelle Bild als reales Bild umdeutet. Legt man den Spiegel auf den Fußboden, vertauscht er - so gesehen - also tatsächlich "Oben" und "Unten". http://www.google.com/search?q=vertauscht+Spiegel+oben 1.3 Wie entsteht Hawking-Strahlung am Schwarzen Loch? -------------------------------------------------------------- Die sogenannte "Hawking-Strahlung" bezeichnet vor allem ein nur hypothetisches, unbestätigtes Phänomen. In störungstheoretischen Berechnungen in der Quantenelektrodynamik treten bestimmte Terme auf, die man in Feynman-Diagrammen als sogenannte "virtuelle Teilchen" veranschaulicht. Die häufig gehörte Behauptung, die Hawking- Strahlung würde dadurch entstehen, daß diese virtuellen Teilchen eines Paares voneinander getrennt werden und dadurch real werden, ist falsch. Die Struktur der Raumzeit am Horizont bewirkt vielmehr die Entstehung realer Teilchen. Man kann zwar über die Nichteindeutigkeit des Vakuumzustandes in beschleunigten Bezugssystemen in der ebenen Raum-Zeit genaue Aussagen treffen (Unruh, Rindler) aber eine mathematisch saubere Behandlung des Horizonts an einer Schwarzschild-Singularität ist schlecht möglich, wo doch nicht einmal Einigkeit herrscht, wie Quantenfelder über nichtebenen Geometrien zu organisieren sind. Die Hawkingsche Hypothese beruht im wesentlichen auf einem Entropieargument, das die realen oder virtuellen Teilchen in einer approximativen Tangentialraum-Fourier-Zerlegung wie ihre ebenen Kollegen im Phasenraum verteilt und dann die Gegend hinter dem Horizont mit dort lokalisierten Moden als verlorene Information betrachtet. Wäre der Horizont nicht heiß, könnte man eine warme Kiste auf den Horizont stellen, und alle Photonen ins schwarze Loch entweichen lassen. Damit hätte man ein 0-K-Vakuum präpariert, das beim Heben noch weitere Energie des Inneren Vakuums verliert. Dem muß aus informationstheoretischen Gründen ein Riegel vorgeschoben werden. Die Temperatur am Horizont hat der Temperatur zu entsprechen, die ein im 0-K-Grundzustand im Unendlichen befindlicher verspiegelter Kasten nach Absenken auf den Horizont durch Gravitationsblauverschiebung an seinen Vakuumfluktuationen erfährt. Man kann dies auch so formulieren, daß der Vakuumzustand des freien Feldes durch einen thermodynamischen Zustand zu ersetzen ist, der eine umgekehrt zum Radius proportionale Temperatur hat und dementsprechend eine Hohlraumstrahlung mit Plankschem Spektrum emittiert. Dann würde unter Abgabe dieser Strahlung die Temperatur abnehmen und die Entropie zunehmen, bis sich das Loch auflöst. Die Auflösung gewisser damit verbundener Paradoxa wäre von einer noch zu schaffenden Quantentheorie des Schwarzen Lochs zu erhoffen. http://homepages.uni-tuebingen.de/th.mueller/eigenes/arbeit.pdf http://www.google.com/search?q=Entropie+Vakuum+Hawking http://idefix.physik.uni-fre iburg.de/gravitation/preprint/como.ps http://www.google.com/search?q=%22Particle+Cre ation+by+Black+Holes%22 http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9803049 http://www.glue.umd.edu/~tajac/BHTlectures/lectures.ps http://www.glue.umd.edu/~tajac/blackholes.ps http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/BlackH oles/hawking.html http://pluslucis.univie.ac.at/FBA/FBA00/possaner/k3.pdf http://de.arxiv.org/abs/astro-ph/0103137 S. Hawking. Particle Creation by Black Holes. Comm. math. Phys, 43:199-220,1975. R. M. Wald. General Relativity. The University of Chicago Press, 1984. Zu Indizien fuer die Existenz schwarzer Loecher: http://www.lsw.uni-heidelberg.de/~mcamenzi/SMBlackHoles.html 1.4 Wie entsteht Anziehung durch Teilchenaustausch? -------------------------------------------------------------- Eine Linie im Feynman-Diagramm, die beispielsweise den "Austausch eines virtuellen Photons zwischen zwei Elektronen", darstellt, darf nicht so verstanden werden, daß dabei tatsächlich ein reales Feldquant ausgetauscht wird. Es handelt sich um die Veranschaulichung eines bestimmten Terms einer komplizierten Störungsrechnung. Eine Störungsrechnung ist eine näherungsweise Berechnung, die notwendig wird, wenn die genaue Berechnung nicht vollständig möglich ist. Da das virtuelle Photon nicht beobachtet werden kann, läßt sich auch nicht sagen, welches Elektron das "virtuelle Photon" absorbiert und welches es emittiert. Die Linien des Diagramms dürfen auch nicht als Weltlinien von Teilchen in der Raumzeit verstanden werden. Ein reales Teilchen, das sich von einem Teilchen zu einem andern bewegt, hat immer einen Impuls, der die Teilchen weiter auseinanderbringt. Die folgende Abbildung zeigt einen von zwei Beiträgen in der ersten Nährung (Ordnung) der Störungsrechnung zur "Bhabha- Streuung" als Feynman-Diagramm: Die Pfeile des Diagramms stellen Propagatoren da. Die Richtung der Pfeile gibt die Flußrichtung der elektrischen Ladung an. Fermionen (Elektron und Positron) werden durch gerade, Photonen durch gewellte Linien dargestellt. Für jeden Vertex (Linientreffpunkt) gilt der Impuls- und der Energiesatz. Die Absorption oder Emission eines Bosons durch ein Lepton ist der Elementarprozeß. \ e- / e+ \ / \ / \ _ / _\| /| \ / \ Photon / \ /\ /\ /\ /\ / /\/ \/ \/ \/ \/ / \ / \ / \_ |/_ |\ / \ / \ / e- \ e+ Die Greenfunktion " G " kann die Wechselwirkung einer Stromdichte " j ( v ) " mit der Stromdichte " j( v' ) " durch den Ausdruck " G ( v' , v ) " beschreiben. (Hierbei sind " v " und " v' " Vektoren mit 3 Orts- und einer Zeitkomponente.) Die Interpretation der Feynman-Diagramme kann man auch so erklären, daß die sich im Formalismus ergebenden Greenfunktionen wie die Propagatoren aussehen, welche normalerweise die Bewegung eines Teilchens beschreiben. Bei Wechselwirkung ist das für den asymptotisch freien Fall gebildete Konzept eines Teilchens aber nicht mehr haltbar. 1.5 Was ist Entropie? -------------------------------------------------------------- Das, was sich der Laie unter "Wärmemenge" vorstellt, nennt man in der Physik "Entropie". Energie wird benötigt, wenn eine Menge sich gegen eine Kraft verändert. Jede Energieänderung läßt sich als das Produkt eines (verallgemeinerten) Potentials (einer Kraft) und einer Mengenänderung verstehen. Man nennt die Mengenänderung auch "Änderung einer /extensiven/ Größe" und das verallgemeinerte Potential auch "intensive Größe". Um so heißer ein Körper ist, um so stärker ist sein Potential zur Abgabe von Entropie: Wir verbrennen uns an einem Körper, der heißer ist als wir es sind, weil dieser seine Entropie an uns abgibt. Eine Tasse mit Wasser bei 100 Grad Celsius kühlt schneller auf 90 Grad Celsius ab als eine mit Wasser bei 40 Grad Celsius auf 30 abkühlt, weil bei der zweiten das "verallgemeinerte Potential" Temperatur niedriger ist. Die Temperaturdifferenz ist also die Potentialdifferenz, welche die Richtung und Stärke des Entropiestromes bestimmt. Wenn zwei berührende Systeme ihre Entropie abgeben "wollen", so "gewinnt" dasjenige mit der höheren Temperatur. Da eine Erhöhung von Entropie auch die Temperatur erhöht, kann sich aber schließlich ein Gleichgewicht einstellen. Bei der Temperatur " T " eines Systems ist die Entropieänderung " dS " mit der Energieänderung " T dS " verbunden. (Andere Beispiele solche Energieänderungen sind: " p d-V ", " v dP " oder " F dr ".) Die Entropie ist also die der Energieform Wärmeenergie zugeordnete extensive Größe, die Temperatur ist die entsprechende intensive Größe. Die meisten extensiven Größen sind erhalten, d.h.: Sie können weder erzeugt noch vernichtet werden, Doch für die Entropie gilt nur, daß sie nicht vernichtet werden kann. Daher läßt sich " dS " immer zerlegen in die von außen zugeströmte und die innerhalb des Systems erzeugte Entropie. Prozeßrealisierungen, bei denen Entropie erzeugt wird, nennt man irreversibel. Sie sind keine Realisierungen des umgekehrten Prozesses, da dann zur Umkehrung Entropie vernichtet werden müßte, was aber nie beobachtet wurde. (Die Entropie kann nur in einem System verringert werden, wenn sie das System nach außen verlassen kann.) Im Rahmen einer statistischen Erklärung ist die Entropie eines sogenannten /Makrozustandes/ der Logarithmus der " n " verschiedenen Möglichkeiten (/Mikrozustände/) zur Realisierung dieses Zustandes. In physikalischen Einheiten ist es " [k] ln ( n ) ", in der Informatik und Informationstheorie verwendet man andere Einheiten und dort ist die Entropie gleich " ld ( n ) [bit] ". Die Entropie gibt also gerade die Information an, die zur Kenntnis des Mikrozustandes noch fehlt, weswegen manchmal Information auch als "negative Entropie" oder "Negentropie" bezeichnet wird. Die Informationsverarbeitung mit Computern erzeugt also immer Abwärme, wenn sie irreversibel realisiert wird, was in klassischen Computern der Fall ist. Daher gibt es auch eine Obergrenze für die raumzeitliche Dichte von Informationsverarbeitung, bei deren Überschreitung der Prozessor schmilzt. Die Erwärmung heutiger Computer ist aber viel größer als das theoretische Minimum aufgrund der Informationsverarbeitung, Der weitverbreitete Vergleich zwischen Unordnung und Entropie ist nur insofern berechtigt, als man bei einem aufgeräumten Zimmer weiß, wo alles liegt. Durch den Makrozustand "Aufgeräumt" ist der Mikrozustand also recht genau definiert, während durch den Makrozustand "Unaufgeräumt" der Mikrozustand recht undefiniert ist. http://www.google.com/search?q=Entropie+extensive http://www.google.com/search?q=Entropie+Makrozustand 1.6 Was ist MWI? -------------------------------------------------------------- "Many Worlds Interpretation" (Mehrfachwelt-Interpretation) nennt DeWitt eine Theorie von Everett. Danach ist ein System durch seinen Zustand(svektor) zu jedem Zeitpunkt vollständig beschrieben und jeder Zustand ist immer der kausalen Zeitentwicklung der Quantentheorie unterworfen. (Grundannahme) Man kann nun eine Messung beschreiben, indem man Beobachter, Meßapparat und Meßobjekt als ein System ansieht. Aus der obigen Grundannahme folgt dann, daß dieses System auch nach der Messung die vorherbestimmte Entwicklung des vorangehenden Zustandes ist. Wir nehmen nun an, ein Beobachter messe den Y-Spin eines Elektrons, das zuvor einen definierten Spin in X-Richtung hat. (Hierbei bezeichnen X und Y die Richtungen zweier senkrechte aufeinanderstehender Achsen.) Die beiden Werte " up " und " down " sind dann vor der Messung gleich wahrscheinlich (symmetrisch). Wenn ein Beobachter nun aber nur einen bestimmten Eigenzustand (z.B. " up ") dieser Observablen mißt, obwohl sich das System gemäß der Zeitentwicklung des Anfangszustandes in einer symmetrischen Superposition beider Möglichkeiten befinden sollte, dann kann dies also nur sein subjektiver Eindruck sein, der dadurch zu erklären ist, daß dieser Beobachter nach der Messung nicht mehr das gesamte System sieht. (Er ist insofern nicht mehr identisch mit dem Beobachter vor der Messung, sondern repräsentiert nun nur noch ein Teil des vorherigen Beobachters.(m)) Wenn die Welt nach der Messung die Zeitentwicklung der Welt vor der Messung ist, aber man nach der Messung nur die Hälfte davon sieht, dann muß es eine andere Hälfte geben, die man aber nicht sieht. Die Welt läßt sich dann als Superposition (Summe) dieser beiden Teile beschreiben. Spaltet sich die Welt bei jedem Meßvorgang auf diese Weise, so hat man bald "viele Welten". (Tatsächlich existiert aber von Anfang an nur eine Welt, die sich auch nicht spaltet: Nur sieht jeder Beobachter einen immer spezielleren ("kleineren") Summanden dieser Welt.(m) Insofern spaltet sich eher der Beobachter.(m)) Everett selber nennt seine Theorie "Metatheorie des relativen Zustand", da zwei makroskopische interagierende Quantensysteme auch nach ihrer Trennung in Zuständen sind, die nur noch relativ zueinander angegeben werden können. Der Begriff "Beobachter" setzt hier nicht voraus, daß dieser ein Mensch sein muß oder etwas, das bestimmte geistige Fähigkeiten besitzt: Ein beliebiges physikalisches System kann "Beobachter" sein. in Englisch: http://www.univer.omsk.su/omsk/Sci/Everett/paper1957.html http://www.google.com/search?num=100&q=%22Relative+State%22 http://de.arXiv.org/abs/quant-ph/0105127 1.7 Was ist ein Skalar? -------------------------------------------------------------- (Für eine einfache Erklärung eines Vektorraums kann man zunächst den Abschnitt 1.8 lesen.) Ein Vektorraum ist ein Tripel " ( K , V , * ) " aus einer abelschen Gruppe " V ", einem Körper " K " und dem Produkt " * ", mit " * : K x V -> V ", so daß die Abbildung " * " mit den Operationen und neutralen Elementen von " K " und " V " verträglich ist. Die Elemente des Körpers " K " nennt man Skalare. Das war die mathematische Definition. In der Physik ist der Sprachgebrauch auch anders. Physiker sagen manchmal etwas wie: "Ein Skalar ist ein Skalar, der sich wie ein Skalar transformiert.". Im folgenden soll versucht werden, dies etwas genauer zu formulieren. " X " sei ein physikalisches System. " K " sei eine Abbildung, die einem physikalischen System " X " gewisse "Koordinaten" zuordne. Beispielsweise kann " K ( X ) " gleich " ( ox( X ), oy( X ), oz( X ), px( X ), py( X ), pz( X ) " sein (Ort und Impuls des Systems, mit jeweils 3 Komponenten). Wir nennen " K " auch ein "Koordinatensystem". " T " sei eine Transformation, die jedem Tupel " K ( X ) " ein Tupel " T ( K ) ( X )" zuordne. Das heißt: " T( K ) " sei ein weiteres Koordinatensystem. Sei " f " sei eine Abbildung . Der Definitionsbereich sei eine Menge von Tupeln, die auch als Koordinatentupel bezeichnet werden. Der Wertebereich sei eine Menge von Objekten, die als "Zahlen" bezeichnet werden (Diese Bezeichnung "Zahl" wird traditionell für Werte verwenden, die keine weiteren Komponenten haben, im Gegensatz zu z.B. einem Vektor des R^3.). Sei " A( T ) " die folgende Aussage " f( K ( X )) = f( T ( K ) ( X ) ) ". Gilt nun für eine aus dem Zusammenhang gegebene Transformation " T " die Aussage " A( T ) ", so sagt man " f " sei ein Skalar (bezüglich " T " ). Dabei verlangen wir auch, daß " f( K ( X )) " eine Zahl ist. Eine Größe mit Komponenten (wie einen Vektor) bezeichnet der Physiker nie als Skalar, selbst wenn sie sonst die geforderten Bedingungen erfüllt. Beispielsweise können wir ein Vielteilchensystem mit " n " Teilchen betrachten. Der Zustand ist in einem Inertialsystem durch die " 6 n " Orte und Impulse " ( ox( 0 , X ), oy( 0 , X ), oz( 0 , X ), px( 0 , X ), py( 0 , X ), pz( 0 , X ), ox( 1 , X ), oy( 1 , X ), oz( 1 , X ), px( 1 , X ), py( 1 , X ), pz( 1 , X ), ..., ox( n - 1 , X ), oy( n - 1 , X ), oz( n - 1 , X ), px( n - 1 , X ), py( n - 1 , X ), pz( n - 1 , X ) ) " gegeben. Die Temperatur des Systems ist ein Skalar, weil sie eine Zahl ist und sich bei einem Wechsel des Inertialsystems nicht ändert. Es gibt auch Fische, die Skalare heißen. 1.8 Was ist ein Vektor? -------------------------------------------------------------- Eine Bedeutung in der elementaren Schulphysik ist "Ein Vektor ist eine Größe (ein Pfeil) mit Betrag und Richtung". Da eine Zahl keine Richtung hat, sieht man sie auch nicht als Vektor an, obwohl sie - mathematisch gesehen - ein Vektor sein kann. Vektoren lassen sich addieren (hintereinandersetzen) oder mit einer Zahl (einem Skalar) multiplizieren ("gewichten", "bewerten", "strecken"). Es gelten verschiedene Assoziativitäts- , Kommutativitäts- und Distributivitäts-Regeln, die man abstrakt im mathematischen Begriff "Vektorraum" zusammenfaßt: Werte zusammen mit Operationen auf ihnen, die sich hinsichtlich der Addition und Multiplikation in vielem so verhält, wie normale Zahlen, faßt man in der Mathematik auch als einen "Körper" zusammen. Wenn man hierbei nur die Addition berücksichtigt, nennt man sie eine "Gruppe". Faßt man nun einen Körper und eine (möglicherweise andere) Gruppe so zusammen, daß man die "Zahlen" des Körpers mit den "Werten" der Gruppe multiplizieren kann, so nennt man dies einen "Vektorraum", wenn die neue Multiplikation mit den bestehenden Verknüpfungen und neutralen Elementen verträglich ist. (Ein Mathematiker sagt dazu auch "Ein Vektorraum ist eine abelsche Gruppe A, auf der ein Körper K operiert.") Einen Wert aus solch einem Vektorraum nennt man dann auch einen "Vektor". (Eine genauere Definition kann man der unten genannten Datei der TU Freiberg entnehmen.) Ein Vektor wird in der Physik aber auch oft nach der Regel "Ein Vektor ist ein Vektor, der sich wie ein Vektor transformiert" definiert. (Die etwas unlogische Formulierung übertreibt leicht, um scherzhaft hervorzuheben, daß man nach dieser Regel oft nicht weiß, was ein Vektor ist, wenn man es nicht schon vorher wußte.) In diesem Fall ist mit "Vektor" oft ein "Vektorfeld" gemeint. Auch im Falle der Transformation eines Vektors gibt es wieder unterschiedliche Sprechweisen in der Mathematik und in der Physik, Schauen wir uns zunächst einmal die Sprechweise in der Mathematik an. Ein Vektorraum kann eine Basis haben, ein Vektor hat ein Koordinatentupel bezüglich einer Basis. Nun kann man mit einer linearen Abbildung " T : V --> V " jedem Basisvektor einen Vektor zuordnen und erhält bei geeignetem T eine neue Basis. Jetzt kann man sich fragen, wie denn das Koordinatentupel eines Vektors in der neuen Basis aussieht. In Matrixdarstellung transformieren sich die Koordinatentupel in diesem Fall mit der Inversen der Transponierten der Matrixdarstellung der Abbildung des Basiswechsels. Die Komponenten solch eines Koordinatentupels transformieren sich also gerade "entgegengesetzt" zu den Basisvektoren, weswegen man auch sagt, sie transformierten sich /kontravariant/. (Die Komponenten eines Kovektorkoordinatentupels, also eines Vektors des Dualraumes, transponieren sich genauso wie die Basisvektoren des Vektorraumes, man nennt sie deshalb auch /kovariant/. Hingegen transformieren die Basisvektoren des Dualraumes /kontravariant/ - sie entsprechen schließlich geraden den Komponenten eines Koordinatentupels.). In der Physik wird das Koordinatentupel eines Vektors oft mit dem Vektor identifiziert. Obwohl in der Beschreibung des vorherigen Absatzes also der Vektor gerade /nicht verändert/ wurde und nur sein Koordinatentupel in einer neuen Basis ausgedrückt wurde, spricht man dann oft von der "Transformation eines Vektors": Gemeint ist aber nur die Transformation des Koordinatentupels. Der eben beschriebene Basiswechsel eines einzelnen Vektorraumes ist aber oft gar nicht gemeint. Oft geht es, darum wie sich die induzierten Basen in den Fasern eines Bündels einer Mannigfaltigkeit ändern, wenn man einen Kartenwechsel durchführt. Dabei geht es fast immer nicht um einen einzelnen Vektor, sondern stets um ein ganzes Vektorfeld, das aber oft von den Physikern nur "Vektor" genannt wird, Das kann man sich in etwa folgendermaßen vorstellen: Wir haben eine Fläche mit angeklebten Pfeilen (den Vektoren, bzw. einem Vektorfeld). Wie ändert sich die Richtung und Länge der Vektoren, wenn wir die Fläche nun verzerren? Man denke beispielsweise an eine Flüssigkeit, die an jedem Punkt eine Geschwindigkeit hat. Wenn man die Flüssigkeit nun in einem neuen Koordinatensystem beschreibt, so muß auch das Geschwindigkeitsvektorfeld so transformiert werden, daß die Physik invariant ist. Jedes Tupelfeld, das sich bei einer Transformation so verhält, wie ein solches Geschwindigkeitsvektorkoordinatentupel, bezeichnet der Physiker als "Vektor". Hierbei sind nun aber nicht nur lineare sondern alle hinreichend differenzierbaren Transformationen zugelassen. Da die Vektoren jetzt nicht mehr Elemente des Raumes, sondern seines Tangentialbündels sind, braucht der zugrundeliegende Raum nicht unbedingt ein Vektorraum zu sein. Mathematisch kann man den Vorgang als Wechsel einer Karte einer Mannigfaltigkeit beschreiben. Eine Karte induziert Basen in den Tangentialräumen, den Kotangentialräumen und dem ganzen Tensorbündel. (Die induzierten Basen im Kotangentialraum sind die berühmten Differentiale " dx ", " dy ", u.s.w.) Daher bringt ein Kartenwechsel auch eine lineare Transformation der Basen aller Tangentialräume mit sich. Dementsprechend ändern sich auch die Koordinatentupel der Tangentialvektoren (des Bündelschnitts). In diesem Sinne meint ein Physiker mit einem "kontravarianten (kovarianten) Vektor" ein Koordinatentupel, das sich bei einer Transformation der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit wie das Koordinatentupel eines Schnittes im Tangentialbündel (bzw. Kotangentialbündel) transformiert. Physiker definieren auch andere Größen, wie beispielsweise Spinoren, über das Transformationsverhalten eines Koordinatentupels und es ist nicht immer leicht zu erkennen, welche invarianten Strukturen eigentlich dahinter stehen sollen. zur mathematischen Definition von Vektoren: http://www.mathe.tu-fr eiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/rmodul.html http://s-inf.de/Skripte/LA1.1999-WS-Pahli ngs.(KR).Zusammenfassung.pdf 1.9 Was ist ein Tensor? -------------------------------------------------------------- Seien V und W K-Vektorraeume und sei k aus K, seien v und v1 aus V und seien w und w1 aus W. Dann schreibt man das sogenannte "Tensorprodukt" von v und w als "v @ w". Diese Produkte " v @ w " gehoeren selber wieder zu einem K-Vektorraum, dem Tensorprodukt " V @ W " von V und W. Das Tensorprodukt " v @ w " ist bilinear, aber nicht (notwendigerweise) kommutativ. ( k v ) @ w = k ( v @ w ) ( v + v1 ) @ w = ( v @ w )+( v1 @ w ) v @ ( k w ) = k ( v @ w ) v @ ( w + w1 )= ( v @ w )+( v @ w1 ) Die K-Vektorraeume V und W sollen die Dimension n bzw. m haben. Es seien fuer " 0 <= i < n " und " 0 <= j < m " dann " dv_i " und " dw_j " die Vektoren einer Basis von V bzw. W. Dann ist jede bilineare Abbildung von V und W in einen K-Vektorraum bereits durch ihre " n m " Werte auf den " n m " Basisvektoren " dv_i @ dv_j " des Tensorproduktes " V @ W " bestimmt. So ist es zu verstehen, dass eine bilineare Abbildung oft als Matrix geschrieben wird, naemlich gerade als die Matrix dieser Werte der Abbildung auf der durch die Basen dv und dw induzierten Basis des Tensorproduktes. Diese Matrix wird oft - nicht ganz korrekt - als "Tensor" bezeichnet. Die korrekte Definition erfolgt am Ende von Abschnitt 3.1.5. Physiker bezeichnen auch oft Tensorfelder, die als Matrizen von Funktionen geschrieben werden koennen, einfach nur als "Tensor". Die obige Darstellung des Begriffes "Tensor" hat sich bemueht, das Wichtigste ueber Tensoren in etwa 1000 Zeichen zu sagen, sie ist aber absichtlich vereinfacht und verkuerzt, um den Leser zunaechst mit einem moeglichst kurzen Text eine Vorstellung des Begriffes "Tensor" zu vermitteln. Daher wurden Details weggelassen und nur ein wichtiger exemplarischer Spezialfall behandelt, ohne den Begriff "Tensor" in voller Allgemeinheit zu behandeln oder auf die Spezifika der Verwendung des Begriffes in der Physik einzugehen. Dies geschah mit der Absicht, dem eiligen Leser schnell eine nuetzliche Vorstellung von dem Begriff zu vermitteln. Der Leser, der an weiteren Details interessiert ist findet sie im Abschnitt 3.1. 1.10 Ist Gravitationsabschirmung durch eine sich drehende supraleitende Scheibe möglich? -------------------------------------------------------------- Diese Frage geht wahrscheinlich auf ein von Eugene Podkletnov (Evgeny Podkletnov, Yevgeny Podkletnov) und R. Nieminen von der Tampere University of Technology in Tampere, Finnland durchgeführtes Experiment zurück. http://home.hiwaay.net/~preavis/Delta-G/Podkletnov.htm http://www.gravity.org/phc.txt Dort soll zunächst beobachtet worden sein, daß Rauch über einer sich drehenden supraleitenden Scheibe stärker aufstieg. Bei einer Verminderung der Gravitation würde Rauch aber tatsächlich nicht unbedingt stärker aufsteigen. Auch der angeblich verringerte Luftdruck ist kein Indiz dafür, da verminderter Gravitation in einem Teil eines Raumes den Luftdruck nicht mindern würde, weil ein Unterdruck von der Umgebung ausgeglichen werden würde. Die Forscher beobachteten auch eine Gewichtsverminderung einer Probemasse im Promillebereich. Eine Erklärung für beobachtete Effekte könnten starke Magnetfelder sein, die Materie durch Wechselwirkungen mit den Elektronenhüllen abstoßen. Hierzu muß die Materie weder insgesamt ferromagnetisch noch metallisch sein. http://www.sci.kun.nl/hfml/froglev.html Die NASA hat versucht, die Experimente zu reproduzieren - bisher ohne Ergebnisse. http://www.grc.nasa.gov/WWW/PAO/html/warp/warpfaq.htm#gs Das Ergebnis eines anderen Versuches, in dem Gewichtsverminderung beobachtet wurde, konnte inzwischen auf Auftrieb zurückgeführt werden. http://www.rommel.stw.uni-erla ngen.de/~markus/antigrav/down_4d.html Die Allgemeine Relativitätstheorie ist die beste Beschreibung der bisher bekannten Gravitationseffekte. Sie liefert keinen Hinweis darauf, wie durch bekannte Materialien Gravitation abgeschirmt oder gravitative Abstoßung hervorgerufen werden kann. Jede "Abschirmung" kann sich gravitativ nur durch ihren Energie-Impuls-Tensor auswirken und dieser kann nur zur anziehenden Gravitation beitragen. Die Abschirmung elektrischer Felder in einem Metallgehäuse ist dadurch möglich, daß Ladungen mit unterschiedlichen Vorzeichen sich anziehen. So kann aber gravitative Abschirmung nicht funktionieren. 2002 berichtet Nature von Flüssigkeiten, die "nach oben tropfen". Aber auch hierbei geht alles ganz natürlich zu. http://www.heise.de/bin/nt.print/newstic ker/data/fr-22.02.02-000/?todo=print http://www.heise.de/tp/deutsch/inhalt/lis/11896/1.html http://www.dur.ac.uk/d.p.hampshire/drop.html 1.11 Warum erhalten schnellere Körper bei einer bestimmten Erhöhung des Impulses in Bewegungsrichtung eine größere Änderung der kinetischen Energie als langsame? -------------------------------------------------------------- Das Differential der kinetischen Energie ist dE = v dP Man sieht hieran, daß die Geschwindigkeit wie ein verallgemeinertes Potential ist, mit dem sich ein System der Erhöhung seines Impuls " P " widersetzt. Um so schneller etwas schon ist, um so mehr Energie braucht man, um den gleichen Impuls " dP " hinzuzufügen. Das hat aber nichts mit der Relativitätstheorie zu tun, wie man denken könnte, sondern es gilt rein klassisch: Wenn ein Körper in einem homogenen Kraftfeld fällt, dann durchfällt er bei einer höheren Geschwindigkeit " v " in demselben Zeitabschnitt " dt " eine größere Strecke " v dt " als bei kleinerer Geschwindigkeit. Daher nimmt er mehr potentielle Energie in der gleichen Zeit vom Feld auf, nämlich " - F dr " integriert über die in " dt " zurückgelegt Strecke. Die Energieänderung ist also proportional zur /zurückgelegten Strecke/ " dr ". Die Impulsänderung " dp = F dt " ist aber nicht proportional zur Strecke, sondern weiterhin zur /Zeit/ " dt ", in der die Strecke " dr " zurückgelegt wird. Die Impulsänderung bleibt also für konstantes " dt " immer /gleich/, auch wenn das Feld bei größerer Geschwindigkeit in derselben Zeit immer /mehr/ Energie abgeben muß, weil die durchmessene Strecke " v dt " immer größer wird. So kann man verstehen, daß das Hinzufügen des /gleichen/ Impulses " dP " bei größerem " v " für das Feld immer "schwerer" wird (es muß immer mehr Energie abgeben), und die Geschwindigkeit tatsächlich die Rolle eines verallgemeinerten Potentials für den Impulsstrom spielt. Um bei der Geschwindigkeit " v " den Impuls " dP " hinzuzufügen, muß das Feld nämlich die Energie " v dP " abgeben. Durch Integration folgt dann auch die quadratische Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit. Dierck Hillmann drückt es sinngemäß so aus: E = Integral( F ds ) E = Integral( m a ds ) E = m Integral( a ds ) E = m Integral( ( dv / dt ) ds ) E = m Integral( ( ds / dt ) dv ) E = m Integral( v dv ) E = m ( 1 / 2 ) v v Dierck erklärt dazu sinngemäß: "Energie ist nicht dasselbe wie Impuls. Es gilt Energie /und/ Impulserhaltung (für konservative Systeme). Wenn Impuls etwas anderes ist, muß er sich doch nicht genauso ändern, wie die Energie. Wenn beide proportional wären (sich z. B. beide linear ändern würden), dann hätte man praktisch nur einen Erhaltungssatz und könnte den anderen aus dem Fenster werfen." Man kann sich das auch anschaulich vorstellen: Wenn man ein Spielzeugauto mit der Hand in " 1 [s] " von " 1 [m] / [s] " auf " 2 [m] / [s] "beschleunigt, dann muß man es über eine längere Strecke hinweg schieben, als wenn man es mit der Hand in " 1 [s] " von " 0 [m] / [s] " auf " 1 [m] / [s] " beschleunigt. Oder noch anschaulicher, aber nicht mehr ganz exakt: Man kann ein stehendes Auto mit viel Mühe beschleunigen, wenn man sich hinter das Auto stellt und es anschiebt. Nun stelle man sich vor, man solle ein Auto um den selben Betrag beschleunigen, das schon mit " 100 [km]/[h] " fährt, das ist so schwer, daß es praktisch unmöglich ist. 1.12 Wie wird das Zwillingsparadoxon aufgelöst? -------------------------------------------------------------- "SRT" bedeutet "Spezielle Relativitätstheorie". Die SRT beschreibt die Welt besser als das klassische nichtrelativistische Weltbild und wird daher hier zugrundegelegt. Ein System nichtverschwindender Masse wird in diesem Abschnitt auch ein "Beobachter" genannt. Die Zeit, die für einen Beobachter (der eine Uhr mitführt) vergeht, nennt man auch dessen /Eigenzeit/. Ein unbeschleunigter Beobachter wird /Inertialbeobachter/ genannt. Ein solcher Inertialbeobachter darf sich selber immer als ruhend betrachten, also ein Koordinatensystem mitführen, in dem er den Ursprung darstellt und in dem bestimmte Gesetze gelten, die bei nicht-inertialen Beobachtern verletzt wären. Ein Ereignis ist für jeden Inertialbeobachter durch eine genaue Orts- und Zeitangabe in seinem Koordinatensystem bestimmt. Es zeigt sich, daß ein Inertialbeobachter zwei Ereignisse für gleichzeitig halten kann, die für einen anderen Inertialbeobachter /nicht/ gleichzeitig sind. Daher ist die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse in der SRT nur noch relativ zu einem Inertialbeobachter sinnvoll. Eine absolute Gleichzeitigkeit gibt es nicht mehr. Für diesen Sachverhalt sagen wir im folgenden auch etwas verkürzt: "Es gibt keine Gleichzeitigkeit." oder "Der Begriff 'gleichzeitig' ist sinnlos.", gemeint ist damit, daß der Begriff nur sinnvoll wäre, wenn auch gesagt werden würde, in bezug auf welchen Inertialbeobachter "Gleichzeitigkeit" oder "gleichzeitig" verwendet wird. Es gibt eine Ausnahme von dieser Regel: Zwei Beobachter, die mit einem Ereignis am gleichen Ort sind, können /gleichzeitig/ mit diesem Ereignis die Zeit dieses Ereignisses in ihrer Eigenzeit bestimmen und haben dies dann auch relativ zueinander gleichzeitig gemacht. Geschieht dies nacheinander für zwei verschiedene Ereignisse, so erhalten beide Beobachter die jeweils für sie verstrichene Eigenzeit zwischen diesen beiden Ereignissen. Nun soll es einen Inertialbeobachter geben, den wir "Laborsystem" nennen. Für ihn sollen ein Neutron namens "Quelle" und ein anderes Neutron namens "Ziel" beide unbeschleunigt in einem Abstand von " 1 [m] " zueinander ruhen. Eine Uhr reise geradlinig mit einer konstanten Geschwindigkeit (aus Sicht des Laborsystems) von " 1 [m] / [s] " zur Quelle, von dort aus weiter zum Ziel und dann weiter. Hierbei gibt es also das erste Ereignis "Die-Uhr-ist-bei-der-Quelle", das Quell-Ereignis, und das zweite Ereignis "Die-Uhr-ist-bei-dem-Ziel", das Ziel- Ereignis. Beim Quell-Ereignis stellt sich die Uhr zurück auf 0. Uhr Quell-Ereignis Ziel-Ereignis ---------> Quelle --------------> Ziel ----------> 1 [m] / [s] |<------- 1 [m] ------>| Laborzeit: 0s 1s Das Laborsystem erwartet und mißt eine Reisezeit von " 1 [s] ". Es zeigt sich aber nun, daß die reisende Uhr selber /weniger Zeit/ beim zweiten Ereignis anzeigt. Diesen Effekt nennt man auch /Zeitdilatation/. Jeder kann die Zeitdilatation leicht nachmessen, indem er einmal Myonen der Höhenstrahlung detektiert, die aufgrund ihrer Lebensdauer eigentlich gar nicht bis zur Erde kommen sollten: aufgrund der Zeitdilatation schaffen sie es aber doch! Es ist ein häufig begangener Fehler, sich diesen Effekt verkürzt als "Die Zeit vergeht für einen bewegten Beobachter langsamer" zu merken. Denn es gibt gar keine absolute Möglichkeit eine Geschwindigkeit des Vergehens von Zeit zu definieren oder solche "Geschwindigkeiten" zu vergleichen. Außerdem wäre das dann, /wirklich/ ein Widerspruch! Denn aus Sicht der reisenden Uhr ist das Labor bewegt und daher müßte - so gesehen - auch die Laborzeit langsamer vergehen. Aus der Sicht eines entsprechenden Beobachters bewegen wir uns auf der Erde mit einer Geschwindigkeit von " 0,99999 c ". Würde man deswegen nun sagen, daß für uns die Zeit besonders langsam vergeht? /Richtig/ ist es, sich zu merken, daß der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen vom Beobachter abhängt. Für ein in bezug auf das Laborsystem in Richtung des Abstandes zwischen Quelle und Ziel schnelleres System ist der zeitliche Abstand zwischen Quell-Ereignis und Ziel-Ereignis nämlich verkürzt. Nun ändern wir die Reiseroute der Uhr ab und stellen uns vor, sie würde am Ziel reflektiert werden und kehre dann mit der Geschwindigkeit von " 1 [m] / [s] " wieder zur Quelle zurück. Die Wiederankunft bei der Quelle bezeichnen wir als das "Rückkehr-Ereignis". Der zeitliche Abstand zwischen Quell- und Rückkehr-Ereignis ist für die Uhr kleiner als für die Quelle (das Laborsystem). Das Zwillingsparadoxon besteht darin, daß die Uhr aus ihrer Sicht ruht und sagen kann, die /Quelle/ sei hin- und hergereist. Demnach müßte dann für die sich bewegende Quelle weniger Zeit zwischen Quell- und Rückkehr-Ereignis vergangen sein. Aber nur eines von beiden ist möglich, denn beim Rückkehr-Ereignis können die reisende Uhr und die Quelle einen Zeitvergleich anstellen und objektiv feststellen, für wen wirklich weniger Zeit seit dem Quell-Ereignis vergangen ist, da sie sich dann am gleichen Ort befinden. Wenn sie Zwillinge wären, wäre also dann erkennbar, wer älter ist. Die Auflösung des Paradoxons besteht darin, daß die Uhr kein Inertialbeobachter ist, weil sie beschleunigt wird, und sie daher nicht annehmen darf, daß sie ruhe. Entscheidend für die Zeitdilatation bleibt aber weiterhin die Geschwindigkeit und nicht die Beschleunigung bei der Reflektion. Die Beschleunigung ist aber nötig, damit die Uhr noch einmal zur Quelle zurückkehrt und so eine Zeitvergleich am gleichen Ort möglich wird. Würde die Uhr nicht zurückkehren, so könnte die Uhr nicht mehr mit der Zeit der Quelle verglichen werden, da für verschiedene Orte Gleichzeitigkeit nicht definiert ist. 2 ANHANG ============================================================== 2.1 Quellen -------------------------------------------------------------- Den folgenden Quellen kann weitere Information entnommen werden. Newsgroups: news://de.sci.physik news://sci.physics Infos zu Newsgroups: news://de.newusers.infos/ Ältere Postings der Newsgroups lesen: http://groups.google.com/advanced_group_search/ FAQs: http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/ http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/dsp-rules.html http://math.ucr.edu/home/baez/physics/faq.html http://math.ucr.edu/home/baez/physics/relativity.html http://www.desy.de/user/projects/Physics/index.html Infos zu FAQs: http://www.faqs.org/ Gute Web-Suchmaschinen: http://www.google.de/ Links zu Physik oder Naturwissenschaft: http://www.aw-verlag.ch/LinksKNres.htm http://www.mathematik.uni-ulm.de/users/hubi/l_physik.htm http://de.dir.yahoo.com/Naturwissenschaft_und_Technik/ Mathematik: http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/dsm/faq.html Astronomie: http://www.dsa-faq.de/ Englischsprachige Web-Quellen: http://directory.google.com/Top/Science/Physics/ Teeblätter in einer Tasse: http://www.acs.ucalgary.ca/~kmuldrew/river.html Teilchenphysik: http://kworkquark.desy.de/ 2.2 Personen -------------------------------------------------------------- Unter anderem die folgenden Personen haben zu dieser FAQ beigetragen, oft indem sie Informationen im Usenet veröffentlichten, die in dieser FAQ verwendet werden: Harald Anlauf, Michael Bertschik, Michael Coppes, Michael Dahms, Christopher Eltschka, Roland Franzius, Oliver Gebele, Hendrik van Hees, Dierck Hillmann, Herwig Huener, Christian Kaufhold, Wolfgang Kurth, Thomas Peters, martin polak, Dieter Schmitt, Gregor Scholten, Werner Scheinast, Pedro Schwaller, Jens Schweikhardt, Anette Stegmann, Daniel Tscharnuter. 2.3 Formelzeichen (Symbolverzeichnis) -------------------------------------------------------------- Folgende Symbole werden in dieser FAQ verwendet. (m) Hinter einem Wort kennzeichnet es dieses Wort als persönlichen Sprachgebrauch des FAQ-Autors, der nicht allgemein gebräuchlich ist. Hinter einem Satz kennzeichnet es den Satz als persönliche Meinung oder Interpretation des FAQ-Autors. Aus technischen Gründen (Beschränkung auf ISO-8859-1) weichen die verwendeten Formelzeichen teilweise von im Schriftsatz gebräuchlichen Schreibweisen ab. Alle Formeln stehen in Anführungszeichen und alle Grundsymbole (/tokens/) sind von Leerraum umgeben. Nur so ist es möglich, einen Namen, wie " ER " zweifelsfrei von dem Produkt " E R " zu unterscheiden. Aus Gründen der Einheitlichkeit wird dann ein Leerzeichen auch dort verwendet, wo es nicht unbedingt nötig ist (wie z.B. in " 2 + 5 "). Durch die Verwendung von Namen aus mehreren Schriftzeichen (wie z.B. " ER ") kann hier teilweise auf kennzeichnende Indizes (wie in " E_R ", d.h. "E mit Tiefindex 'R'" ) verzichtet werden. Die im Druck kursiv gesetzten Symbole können hier nicht kursiv gesetzt werden, zur Unterscheidung werden nichtkursive Symbole für Einheiten und Konstanten (wie die Boltzmann-Konstante) in eckige Klammern gesetzt. Da bei den Namen von Funktionen, wie "sin" für die Funktion "Sinus", Mißverständnisse nicht zu befürchten sind, wird hier auf die Schreibweise mit eckigen Klammern ( wie z.B. " [sin] ( x ) ") verzichtet, obwohl Individualnamen von Funktionen sonst im Schriftsatz nicht kursiv gesetzt werden. Vektoren und Tensoren werden nicht besonders gekennzeichnet. Die Groß- und Kleinschreibung ist signifikant (bedeutungsvoll) und wird beispielsweise zur Unterscheidung zwischen dem Druck " p " und dem Impuls " P " verwendet. --> Abbildung geht von linker Menge in rechte Menge |--> Linksstehendes wird abgebildet auf Rechtstehendes ^ Linksstehendes hoch Rechtstehendes; Potenzierung = Linksstehendes ist Rechtsstehendem gleich := Linksstehendes wird definiert durch Rechtsstehendes @ Tensorprodukt a Die Beschleunigung eines Impulstransportes c kanonische Zeit-Längen-Äquivalenz, " 299792458 [m] / [s] " d Ein Differential oder eine kleine Differenz e Napiersche Zahl e- Elektron E Die Energie eines Systems ER Die Ruhenergie " m c ^ 2 " eines Systems EP Die Impulsenergie " c p " eines Systems [bit] Das Bit F Die Kraft einer Ortsänderung [k] Die Boltzmannkonstante ld Der Logarithmus dualis ln Der Logarithmus naturalis m Die Masse eines Systems (früher: Ruh[e]masse) m Eine ganze Zahl [m] Das Meter (SI-Einheit) n Eine ganze Zahl N Die Menge der natuerlichen Zahlen o Hintereinanderausfuehrung zweier Abbildungen ox X-Koordinate des Ortes eines Systems oy X-Koordinate des Ortes eines Systems oz X-Koordinate des Ortes eines Systems px X-Koordinate des Impulses eines Systems py X-Koordinate des Impulses eines Systems pz X-Koordinate des Impulses eines Systems P Der Impuls eines Systems R Die Menge der reellen Zahlen s Eine Strecke [s] Die Sekunde (SI-Einheit) t Die Zeit zwischen zwei Ereignissen T Die Temperatur eines Systems X Ein physikalisches System x kartesisches Produkt d-V := " - dV " dE Die Energieänderung eines Systems dP Die Impulsänderung eines Systems dS Die Entropieänderung eines Systems dV Die Volumenänderung eines Systems dr Die Ortsänderung eines Systems p Der Druck eines Systems v Die Geschwindigkeit eines Impulstransports 2.4 Abkürzungsverzeichnis -------------------------------------------------------------- ART "Allgemeine Relativitätstheorie" MWI "many-worlds interpretation" QCD "Quantenchromodynamik" QED "Quantenelektrodynamik" QFT "Quantenfeldtheorie" QT "Quantentheorie" RPF "Richard Phillips Feynman" SL "Schwarzes Loch" SRT "Spezielle Relativitätstheorie" TOE "Theory of Everything" dsp "de.sci.physik" 2.5 Zu dieser FAQ -------------------------------------------------------------- Diese FAQ soll tatsächlich häufig gestellte Fragen beantworten. Wann immer eine Frage auftaucht, die so oder ähnlich schon besonders oft gestellt wurde, kann die Frage und die dazugehörige Antwort in diese FAQ aufgenommen werden. Die Antworten sollen immer für einen Leser verständlich sein, der auch die Frage selber formulieren könnte. Beispielsweise ist der Eintrag 1.1 für jemanden der noch nie von der Relativitätstheorie gehört hat, kaum verständlich, derjenige hätte aber auch nicht die behandelte Frage so gestellt. Es sollen nur unumstrittene, gesicherte Sachverhalte dargestellt werden. Für weiterführende Diskussionen wird auf andere Texte verwiesen. Darüber hinaus werden Änderungsvorschläge von jedermann zu dieser FAQ gewürdigt (was nicht bedeutet, daß sie immer eine Änderung bewirken). Es wird nicht behauptet, daß dies die einzige FAQ dieser NG sei, noch, daß sie irgendwie "offiziell" sei. Diese FAQ wird unregelmäßig gepostet. Besonders auch, wenn in dieser NG eine Frage auftaucht, die schon in der FAQ enthalten ist. Diese FAQ darf von jedermann ganz oder auszugsweise frei gespeichert, kopiert, vervielfältigt, verteilt, gedruckt oder per HTTP oder FTP oder sonstwie veröffentlicht werden. Diese FAQ wird seit Mai 2001 von Anette Stegmann gepflegt. Sollte Anette diese FAQ nicht mehr weiter pflegen, was insbesondere daran zu erkennen ist, daß sie Teile dieser FAQ seit mindestens 12 Monaten nicht mehr gepostet hat, so steht es jedem frei, die weitere Pflege dieser FAQ zu übernehmen. 3 ERGAENZUNGEN ============================================================== 3.1 Ergaenzungen zum Tensorbegriff und -produkt (1.9) -------------------------------------------------------------- 3.1.1 Die Universelle Eigenschaft des Tensorproduktes Jede bilineare Abbildung " f " zweier K-Vektorraeume " V " und " W " in einen K-Vektorraum " T " kann eindeutig als Hintereinanderausführung " o " einer allgemeinen universellen bilinearen Funktion " u " und einer speziellen linearen Abbildung " s ( f ) " geschrieben werden: " f = s ( f ) o u ". Diese universelle Abbildung " u " ist das eindeutig bestimmte Tensorprodukt. Die zuerst genannte definierende Eigenschaft ist die "Universelle Eigenschaft" des Tensorproduktes. Angewendet auf ein Paar von Vektoren " ( v, w ) " aus dem kartesischen Produkt " V x W " wird es geschrieben als " v @ w ". Der Bildraum von " u " wird auch "Tensorprodukt von V und W" genannt und als " V @ W " geschrieben. (Im allgemeinen sind nicht alle Elemente von " V @ W " von der Form " v @ w ".) Die lineare Abbildung " s( f ) " trägt nichts mehr zur Bilinearität bei, sie kann aber beispielsweise noch eine nicht- injektiv oder nicht-surjektive Abbildung des Tensorproduktes in einen Vektorraum kleinerer, gleicher oder groesserer Dimension als die Dimension von " V @ W " darstellen. 3.1.2 Konstruktion des Tensorproduktes Nach Voraussetzung der Bilinearitaet erfuellt das Tensorprodukt mit einem Skalar k die Rechenregeln " ( k v ) @ w = k ( v @ w ) " und " ( v + v1 ) @ w = v @ w + v1 @ w " fuer das erste Argument sowie " v @( k w )= k ( v @ w ) " und " v @( w + w1 )= v @ w + v @ w1 " fuer das zweite Argument. Daher kann man es auch konstruieren, indem man den freien K-Vektorraum über dem kartesischen Produkt " V x W " durch eine Aequivalenzrelation teilt, die gerade die Gueltigkeit der Bilinearitat gewaehrleisten. Der Unterraum, durch den der freie Vektorraum geteilt wird, ist durch die Elemente der folgenden Form gegeben. " ( v + v1 )x w - ( v x w + v1 x w ) " " v x ( w + w1 )- ( v x w + v x w1 ) " " ( k v ) x w - k ( v x w ) " " v x ( k w ) - k ( v x w ) " Durch diese Konstruktion des Tensorproduktes wird auch klar, daß es die Aufgabe hat, viel Informationen zu vernichten, die ein Element des freien K-Vektorraumes über dem kartesischen Produkt zweier Vektoren noch enthält. Vernichtet wird genau die Information die aber bei jeder auf ein Vektorpaar angewendeten bilinearen Funktion ohnehin verloren gehen. Genau deshalb kann das Tensorprodukt jeder bilinearen Funktion vorangestellt werden, ohne daß weitere Informationen verloren gehen: Es vernichtet nur die Informationen, die /jede/ bilineare Funktion ohnehin aufgrund ihrer Bilinearität vernichten würde (Spezielle bilineare Funktionen könnten noch mehr Informationen vernichten). 3.1.3 Beispiel zur Konstruktion des Produktes Wie kann man sich den freien K-Vektorraum und die Entstehung des Tensorproduktes bei der Konstruktion mit dem Quotienten vorstellen? Ein Element des freien K-Vektorraumes über dem kartesischen Produkt ordnet endlich vielen Paaren v x w einen Skalar k zu. Daher kann man ein Element des freien K-Vektorraumes auch schreiben als " k0 v0 x w0 + k1 v1 x w1 + ... + k(n-1) v(n-1) x w(n-1) ". Einige Elemente des freien K-Vektorraumes sind beispielsweise auch: "( k0 ( v0 + v1 )) x w ", " k0 (( v0 + v1 ) x w )" und " k0 ( v0 x w ) + k0 ( v1 x w ) ". Es handelt sich hierbei um drei verschiedene Elemente des freien K-Vektorraumes, die dort linear unabhaengig sind. Bei der Bildung des Quotienten werden nun alle Vektoren als gleich angesehen, deren Differenz von der Form " ( v + v1 )x w - ( v x w + v1 x w ) ", " v x ( w + w1 )- ( v x w + v x w1 ) ", " ( k v ) x w - k ( v x w ) " oder " v x ( k w ) - k ( v x w ) " ist. Es zeigt sich, dass die Differenzen zwischen den drei Beispielvektoren gerade von dieser Form sind. Daher gehoeren sie alle zum selben Element des Quotienten. Man kann die Bildung des Quotienten also so verstehen, dass fuer Summen der Form " k0 v0 x w0 + k1 v1 x w1 + ... + k(n-1) v(n-1) x w(n-1) " bestimmte Rechenregeln zugelassen werden, so daß sich gerade Bilinearität des Produktes ergibt. Wir betrachten nun den Fall des Tensorproduktes zweier beliebiger Vektoren aus einem 2-dimensionalen K-Vektorraum V und einem 2-dimensionalen K-Vektorraum W " V @ W " und schreiben deren Darstellung in einer Basis dv bzw dw: " ( v^0 dv_0 + v^1 dv_1 ) @ ( w^0 dw_0 + w^1 dw_1 ) ". Aufgrund der Bilinearität kann dies berechnet werden als " v^0 w^0 dv_0 @ dw_0 + v^0 w^1 dv_0 @ dw_1 + v^1 w^0 dv_1 @ dw_0 + v^1 w^1 dv_1 @ dw_1 ". Dies illustriert, dass sich die Dimension des Tensorproduktes durch das Produkt der Dimensionen der Faktoren ergibt und im Allgemeinen deutlich geringer ist als die Dimension des freien K-Vektorraumes ueber dem kartesischen Produkt. 3.1.4 Kovektoren, Summenkonvention und Varianztyp Eine K-lineare Abbildung von einem K-Vektorraum V in den Koerper " K " nennt man ein lineares Funktional oder eine Linearform (Form) oder einen Kovektor. Die Menge aller Linearformen eines Vektorraumes ist selber ein K-Vektorraum und wird der zu V duale Vektorraum oder Dualraum von V oder Kovektorraum von V genannt und mit " V* " bezeichnet. Die Elemente der Basis von " V " werden hier mit " dx_i " bezeichnet. Dabei bezeichnet " dx_i " fuer jedes 0 <= i < n einen der n Basisvektoren. Die Basis des Kovektorraumes sind die n Kovektoren " dx^i ". Die Basis " dx_i " des Vektorraumes induziert die duale Basis des Kovektorraumes vermittels der Festlegung, dass " dx^i( dx_j ) " 1 ist, wenn " i = j " ist und Null sonst. Fuer jeden Vektor " v " ist also " dx^i ( v ) " die i-te Koordinate des Vektors in der Basis dx, die auch " v^i " geschrieben wird. Damit ist klar, daß sich die Komponenten " v^i " eines Vektors " v " wie die Basen des Kovektorraumes transformieren, weswegen sie auch als kontravariant bezeichnet werden. Der Dualraum des Dualraums kann auf natürliche Weise mit dem urspruenglichen Vektorraum identifiziert werden (bei endlich- dimensionalen Vektorräumen). Entsprechend sind die Koordinaten " f_i " einer Linearform durch " dx_i( f ) " gegeben. Die Komponenten eines Kovektors transformieren sich wie die Basen des Vektorraumes, was man auch dadurch ausdrueckt, dass man sie als kovariant bezeichnet. Der Wert der Form f an der Stelle v ist dann " f ( v ) " oder in Koordinaten die Summe von " f_i v^i " über alle i. Die Anwendung einer linearen Funktion auf einen Vektor (oder umgekehrt) wird also in Koordinaten als Summe geschrieben, bei der ein Index einmal oben ("^") und einmal unten ("_") auftaucht. Solche Summen lassen sich kurz mit der Einsteinschen Summenkonvention schreiben, nach der ueber einen einmal oben und einmal unten stehenden Index zu summieren ist (ohne daß ein Summenzeichen dafür geschrieben wird). Die Summation über zwei gleiche untenstehenden Indixes entspricht der Anwendung einer Form auf eine Form, die aber nicht erlaubt ist. Die Summation über zwei gleiche obenstehenden Indixes entspricht der Anwendung eines Vektors auf einen Vektor, die auch nicht erlaubt ist. Durch die Höhe des Indexes wird also Information über den Typ des Objektes transportiert, deren Beachtung hilft, Typfehler zu vermeiden. 3.1.5 Tensoralgebra Fuer einen K-Vektorraum " V " und dessen Dualraum " V* " wird das r-fache Tensorprodukt von V mit sich selbst hier als " V ^ r " und das s-fache Tensorprodukt von " V* " mit sich selbst als " V* ^ s " geschrieben. Das Tensorprodukt " V ^ r @ V* ^ s " wird dann Tensorprodukt vom Typ (r,s) genannt und als " @ ( V , r , s ) " bezeichnet. Seine Elemente werden homogene Tensoren vom Typ (r,s) genannt. Das Produkt vom Typ (1,0) ist definiert als " V ", das Produkt vom Typ (0,1) ist definiert als "V* " und das Produkt vom Typ (0,0) ist definiert als K. Damit sind alle Vektoren, Linearformen und Skalare homogene Tensoren. Lineare Abbildungen und Skalarprodukte sind homogene Tensoren vom Typ (1,1) bzw. (0,2). Ein Tensor vom Typ (r,s) heisst kontravariant vom Grad r und kovariant vom Grad s. Ein Tensor vom Typ (r,0) wird auch ein r-Vektor, eine Tensor vom Typ (0,s) auch eine s-Form genannt. Die direkte Summe aller " @ ( V , r , s ) " ist die graduierte Tensoralgebra von V. Ihre Elemente werden Tensoren genannt. (Allerdings wäre nach dieser Definition ein Element von " V @ W " kein Tensor [außer im allgemeinen Sinne, in dem jeder Vektor ein Tensor ist], so daß man die obige Definition wohl nicht als die allgemeinste Definition des Begriffes ansehen darf. "Ihre Elemente werden Tensoren genannt." schließt ja auch nicht aus, daß auch noch andere Objekte Tensoren genannt werden.) Die Tensoren bilden also einen Vektorraum. Tensoren sind also Vektoren. Weiter oben wurde schon gesagt, dass Vektoren homogene Tensoren vom Typ (1,0) sind. Es zeigt sich also, dass Tensoren Vektoren und Vektoren Tensoren sind. Trotzdem ist der Begriff "Tensor" nicht identisch mit dem Begriff "Vektor". 3.1.6 Koordinaten linearer Abbildungen Jedes Element des Bildraumes " V @ W " ist eine Summe von Tensorprodukten der Form " v @ w", mit v aus V und w aus W. Kennt man die Werte einer linearen Abbildung auf den " v @ w ", so kann man dadurch die Werte für jedes Element des Bildraumes bestimmen. Wir betrachten beispielsweise eine bilineare Abbildung f von " V x W " nach U. Sie ist bereits durch die " n m " Werte auf den Basisvektoren von " V @ W " bestimmt. Definiert man f_i_j als f( dv_i @ dw_j ), dann kann man f schreiben als " f_i_j dv^i @ dw^j ", was man auch in Form einer Matrix mit m Spalten und n Zeilen schreibt. Für jedes Paar von Vektoren " ( v x w ) " ist " f ( v x w ) " dann gleich " f_i_j( dv^i @ dw^j )( v x w ) " = " f_i_j v^i w^j ". Der letzte Ausdruck ist nichts anderes als die Anwendung einer Matrix auf zwei Spaltenvektoren, welche einen Vektor aus U ergibt (einen Skalar, falls U der Körper ist). Solche multilinearen Abbildungen sind letztendlich die Tensoren der Physiker. Sie erscheinen ihnen oft als Matrix. 3.1.7 Berechnung eines Tensorproduktes aus R @ R Wie sieht das Tensorprodukt zweier Vektoren " v " und " w " aus der Menge der reellen Zahlen " R " aus? " v @ w " ist ein Element von " R @ R ". Die Vektoren " v " und " w " werden in Koordinaten mit der Basis " dv " bzw dw als " v^0 dv_0 " und " w^0 dw_0 " geschrieben. Das Produkt " v @ w " ist " ( v^0 dv_0 ) @ ( w^0 dw_0 ) ". Wegen der Skalierbarkeit ergibt sich " v^0 w^0 ( dv_0 @ dw_0 ) ". Der Raum " R @ R " ist eindimensional und hat die induzierte Basis " ( dv_0 @ dw_0 ) ", die Komponente des Produktes " v @ w " in dieser Basis ist " v^0 w^0 " also das normale Produkt der beiden reellen Zahlen. Das Tensorprodukt ist fuer reelle Zahlen also einfach das normale Produkt, daher kann man das Tensorprodukt als Verallgemeinerung des normalen Produktes ansehen. Jede bilineare Funktion zweier reeller Zahlen muß also eine lineare Funktion ihres Produktes sein. 3.1.8 Berechnung eines Tensorproduktes aus R^2 @ R^2 Wie sieht das Tensorprodukt zweier Vektoren " v " und " w " aus " R^2 " aus? " v @ w " ist ein Element von " R^2 @ R^2 ". Die Vektoren " v " und " w " werden in Koordinaten mit der Basis " dv " bzw dw als " v^0 dv_0 + v^1 dv_1 " und " w^0 dw_0 + w^1 dw_1 " geschrieben. Das Produkt " v @ w " ist " ( v^0 dv_0 + v^1 dv_1 ) @ ( w^0 dw_0 + w^1 dw_1 ) ". Wegen der Bilinearitaet ergibt sich " v^0 w^0 ( dv_0 @ dw_0 ) + v^0 w^1 ( dv_0 @ dw_1 ) + v^1 w^0 ( dv_1 @ dw_0 ) + v^1 w^1 ( dv_1 @ dw_1 ) ". Der Raum " R^2 @ R^2 " ist vierdimensional und hat die induzierte Basis " ( dv_0 @ dw_0 ), ( dv_0 @ dw_1 ), ( dv_1 @ dw_0 ), ( dv_1 @ dw_1 ), ". Die Komponenten des Produktes " v @ w " in dieser Basis sind " v^0 w^0, v^0 w^1, v^1 w^0, v^1 w^1 ". Jede bilineare Funktion zweier Vektoren aus einem R^2 muß also eine lineare Funktion von " v^0 w^0 ( dv_0 @ dw_0 ) + v^0 w^1 ( dv_0 @ dw_1 ) + v^1 w^0 ( dv_1 @ dw_0 ) + v^1 w^1 ( dv_1 @ dw_1 ) " sein. Beispielsweise ist dies das normale Skalarprodukt v^0 w^0 + v^1 w^1. 3.1.9 Anhang: Beispiel R^3 @ R^3 Mit den Basisvektoren dx_i ist die Basis des Tensorproduktes " dx_i @ dx_j ". Dies sind im R^3 also 9 verschiedene Basisvektoren. " dx_0 @ dx_0 ", " dx_0 @ dx_1", " dx_0 @ dx_2 ", " dx_1 @ dx_0 ", " dx_1 @ dx_1 ", " dx_1 @ dx_2 ", " dx_2 @ dx_0 ", " dx_2 @ dx_1 " und " dx_2 @ dx_2 ". Jede bilineare Abbildung f: R^3 x R^3 |--> U ist durch ihre Werte auf diesen 9 Basisvektoren bereits vollständig bestimmt und läßt sich damit als ein Vektor des Tensorproduktraumes, also als ein Tensor auffassen. Sie laesst sich damit als Matrix schreiben: / f( dx_0 @ dx_0 ), f( dx_0 @ dx_1 ), f( dx_0 @ dx_2 ) \ | f( dx_1 @ dx_0 ), f( dx_1 @ dx_1 ), f( dx_1 @ dx_2 ) | \ f( dx_2 @ dx_0 ), f( dx_2 @ dx_1 ), f( dx_2 @ dx_2 ) / 3.1.10 Anhang: Beispiel (R^3)* @ (R^3) Eine Element von " V* @ W " laesst sich als lineare Abbildung von W nach V auffassen, deren Komponenten im Fall von (R^3)* @ (R^3) durch die folgende Matrix gegeben sind. / dx^0 ( f( dx_0 )), dx^0 ( f( dx_1 )), dx^0 ( f( dx_2 )) \ | dx^1 ( f( dx_0 )), dx^1 ( f( dx_1 )), dx^1 ( f( dx_2 )) | \ dx^2 ( f( dx_0 )), dx^2 ( f( dx_1 )), dx^2 ( f( dx_2 )) / 3.1.11 Anhang: Beispiel (R^3)* @ (R^3)* Die Bilinearformen (2-Formen) V x W --> K kann man mit " V* @ W* " identifizieren. Die Komponenten einer 2-Form sind im Fall von (R^3)* @ (R^3)* durch die folgende Matrix gegeben. / f( dx_0 @ dx_0 ), f( dx_0 @ dx_1 ), f( dx_0 @ dx_2 ) \ | f( dx_1 @ dx_0 ), f( dx_1 @ dx_1 ), f( dx_1 @ dx_2 ) | \ f( dx_2 @ dx_0 ), f( dx_2 @ dx_1 ), f( dx_2 @ dx_2 ) / Dies ist die selbe Matrix wie in 3.1.9, nur daß sie diesmal anders interpretiert wird. In 3.1.9 sollte sie die 2-Vektoren, wie dx_0 @ dx_0 veranschaulichen, und diesmal die 2-Formen, wie f.