In der Vorlesung 4 im Unterpunkt Anwendungsbeispiel: Nullstellensuche einer Funktion hatten wir die Methode der Bisektion (das Intervallhalbierungsverfahren) und die Newton-Raphson Methode der Nullstellenermittlung vorgestellt. Die Newton-Raphson Methode stellte hierbei ein sehr effektives Verfahren zur Ermittlung einer Nullstelle dar, hatte jedoch den Nachteil, dass man neben der Funktion selbst auch noch die Ableitung $f^\prime(x)$ der Funktion benötigte. Da wir nun die Ableitung einer Funktion auch numerisch bestimmen können (siehe Teilkapitel Numerische Differentiation), können wir das Newton-Raphson Verfahren insofern abändern, dass der Benutzer lediglich die Funktion $f(x)$ definieren muss und die benötigte Ableitung, mittels der hergeleiteten Differentiationsregeln der numerischen Mathematik berechnet werden.
Schreiben Sie ein C++ Programm, welches die Newton-Raphson Methode zur Ermittlung einer Nullstelle benutzt und lediglich den Ausdruck der Funktion $f(x)$ benötigt (benutzen Sie speziell $f(x) = e^x - 20$). Für den approximativen Wert der Ableitung verwenden Sie bitte einerseits die 'Dreipunkte-Mittelpunkt-Formel' und die 'Fünfpunkte-Mittelpunkt-Formel' und vergleichen Sie zusätzlich die Ergebnisse mit einer Berechnung, die den analytischen Ausdruck für $f^\prime(x)$ benutzt. Lassen Sie sich die approximierten Nullstellenwerte der ersten 10 Iterationen dieser modifizierten Newton-Raphson Methode für die drei Varianten im Terminal ausgeben und geben Sie auch den relativen Fehler zum wirklichen Wert an. Benutzen Sie bei allen Varianten den Startwert $p_0 = 2$ bei der Nullstellenberechnung und einen h-Wert von $h = 0.1$ bei der approximativen Bestimmung der Ableitung.
Diese Aufgabe ist angelehnt an das Kapitel 23 "Der gedämpfte harmonische Oszillator" des Buches von Prof. Walter Greiner, Mechanik (Teil 1) [5. Auflage, 1989, siehe Seite 226- 237]. Siehe auch Vorlesungsskript von Prof. Rischke auf Seite 117- 126 http://itp.uni-frankfurt.de/~drischke/Skript_MI_WiSe2022-2023.pdf ). Wir betrachten im Folgenden den gedämpften harmonischen Oszillator am Beispiel eines reibungsfrei gelagerten Wagens (Masse=$M$) auf den eine Rückstellkraft einwirkt (die proportional zu seiner Auslenkung $x$ ist (Proportionalitätskonstante $k$)), wobei zusätzlich eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft auf den Wagen einwirkt (z.B. verursacht durch den auf den Wagen einwirkende Luftwiderstand, Stokesscher Ansatz: Proportionalitätskonstante $\alpha$). Aufgrund der Rückstellkraft, besitzt das zugrundeliegende Potenzial $V(x)$ die Form einer Parabel $V(x)=\frac{k \, x^2}{2}$. Die zeitliche Entwicklung des linearen harmonischen Oszillators mit Dämpfung wird mittels der folgenden Differenzialgleichung zweiter Ordnung beschrieben (wir setzen $\omega_0^2=\frac{k}{M}$ und $\beta = \frac{\alpha}{2M}$):
$$
\begin{equation}
\ddot{x}(t) = - \omega_0^2 \, x(t) - 2 \beta \, \dot{x}(t)
\end{equation}
$$
Die Anfangsbedingungen seien zunächst noch allgemein gehalten: $x(0) = x_0 \,\, , \,\, \dot{x}(0) = v_0$. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung mittels eines eigenen Jupyter Notebooks. Geben Sie dann die spezielle Lösung der Differenzialgleichung bei festgelegten Parameterwerten ($\omega_0^2=3$ und $\beta = 0.25$) und Anfangsbedingungen ($x_0 = 0$ und $v_0 = 40$) an und visualisieren Sie diese in einem x-t Diagramm. An welchem Ort befindet sich der Wagen zur Zeit $t=10$ ( $x(10)$ )? Erstellen Sie zusätzlich eine Animation, indem Sie einen der zuvor festgelegten Parameter (z.B. $x_0$, $v_0$, $\omega_0$ oder $\beta$) in einem gewissen Wertebereich verändern.
Berechnen Sie nun die allgemeine Lösung für den aperiodischen Grenzfall (kritische Dämpfung, $\beta = \omega_0$) und erstellen Sie eine weitere Animation, welche die Abbildung 2.23 im Vorlesungsskript von Prof. Rischke (Seite 124) verdeutlicht.
Die Musterlösung der Aufgaben des Übungsblattes Nr. 7 finden Sie unter dem folgenden Link:
Musterlösung Übungsblatt Nr. 7