Die im C++ Programm Lagrange_Polynom_1.cpp implementierte Lagrange Polynom Methode approximiert eine vorgegebene Funktion $f(x)$ (hier speziell $f(x)=1/x$ ) durch ein Lagrangepolynom. Wir nehmen jedoch im Folgenden an, dass die wirkliche Funktion $f(x)$ unbekannt ist, und wir lediglich an den Stützstellen die Funktionswerte kennen. Gegeben seien die folgenden x- und y-Werte der Stützstellen: $\vec{x} = \left( 2, 10.1, 15, 20, 40, 60, 90 \right)$ und $\vec{y} = \left( 2.1, 41, 43, 40.2, 12, 5, 17.5 \right)$. Berechnen Sie das Lagrange Polynom $P_6(x)$ im Teilintervall $[a,b]=[0,100]$ mittels eines C++ Programms und stellen es grafisch mittels Python dar.
Berechnen Sie für die unten angegebenen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ die folgenden Größen: \[ \begin{equation} \vec{a} =\left( \begin{array}{ccc} 2.3 \\ -1.36 \\ 6.91 \end{array} \right) \quad , \quad \vec{b} =\left( \begin{array}{ccc} 10.3 \\ -4.34 \\ 5.3 \end{array} \right) \qquad , \quad \hbox{Skalarprodukt:} \,\, s = \vec{a} \cdot \vec{b} \quad , \quad \hbox{Kreuzprodukt:} \,\, \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \end{equation} \] Definieren Sie dazu zwei eindimensionale C++ Arrays für die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und berechnen Sie das Skalar- und Kreuzprodukt der Vektoren möglichst mittels der folgenden Indexbasierten Ausdrücke \[ \begin{equation} \hbox{Skalarprodukt:} \,\, s = \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^3 a_i \, b_i , \qquad , \quad \hbox{Kreuzprodukt:} \,\, \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \, a_i \, b_j \, \vec{e}_k \quad , \end{equation} \] wobei $\epsilon_{ijk}$ der total antisymmetrischer Tensor (auch Epsilon-Tensor bzw. Levi-Civita-Symbol) ist. Definieren Sie das Levi-Civita-Symbol bitte als ein mehrdimensionales C++ Array (der Epsilon-Tensor entspricht einer $(3 \times 3 \times 3)$-Matrix). Verwenden Sie bei der Implementierung des Skalar- und Kreuzproduktes sowohl eine Formulierung unter Zuhilfenahme eines Index-Zugriff auf die einzelnen Elemente, als auch eine Zeiger-basierte Zugriffsweise. Lassen Sie sich die berechneten Größen im Terminal ausgeben.
Die Musterlösung der Aufgaben des Übungsblattes Nr. 6 finden Sie unter dem folgenden Link:
Musterlösung Übungsblatt Nr. 6