Die Eulersche Zahl $e$ kann mittels des folgenden Grenzwertes der Folge $(a_n)_{n \in ℕ}$ mit $a_n := \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ definiert werden:
\[
\begin{equation}
e = \lim \limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
\end{equation}
\]
Überprüfen Sie dies, soweit es die Computergenauigkeit erlaubt, mittels eines C++ Programms.
Deklarieren Sie dazu zunächst zwei reellwertige Variablen der Datentypen float und double, die die zwei approximierte Werte der Eulerschen Zahl $e$ darstellen sollen. Zusätzlich deklarieren Sie eine Variable für die lange natürliche Zahl $n$, die Sie mit einem großen ganzzahligen Wert initialisieren (z.B. $n=10000$). Initialisieren Sie danach die zwei reellwertigen Variablen mit dem Zahlenwert der Folge $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$. [Bemerkung: Hierzu müssen Sie zuvor die Standardbibliothek <cmath> eingebunden haben, in der die Funktion "pow(...)" definiert ist (näheres siehe Die Standardbibliothek <cmath>).]
Vergleichen Sie am Ende des Programms die berechneten Zahlenwerte mittels einer formatierten Ausgabe. Geben Sie zusätzlich den Fehler (${\cal F} = e - e_{approx}$) mit 20 Nachkommastellen aus. [Bemerkung: Benutzen Sie hierbei für den wirklichen, exakten Wert von $e$ einen selbst definierten long double Zahlenwert der mindestens auf 18 Nachkommastellen genau ist.]
Vergrößern Sie nun den Wert von $n$ und betrachten Sie die berechneten Fehler - was fällt Ihnen auf? Wie genau können Sie die Zahl $e$ mittels der definierten Variablen bestimmen?
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke mittels eines C++ Programms und lassen Sie sich die berechneten Werte der Gleitkommazahlen auf 10 und 20 Stellen genau ausgeben (benutzen Sie bei der Berechnung doppelte Maschinengenauigkeit). \[ \begin{equation} \frac{64}{128} \, , \quad \frac{1}{3} \, , \quad \frac{2 \pi}{5} \, , \quad \hbox{cos}\left( \frac{\pi}{2} \right) \, , \quad e^{\left( 5.84^{-12} \right)} \, , \quad \hbox{ln}\left( e^{1.1} \right) \end{equation} \]
Die Musterlösung der Aufgaben des Übungsblatts Nr. 2 finden Sie unter dem folgenden Link:
Musterlösung Übungsblatt Nr. 2