Stellen Sie für die folgende Reihe das Konvergenzverhalten für die ersten 100 ($N=100$) Folgenglieder der Partialsumme grafisch dar \[ \begin{equation} s_n = \sum_{k=0}^n q^k,\quad \hbox{mit:} \quad q = \frac{8}{9} \end{equation} \] Erstellen Sie dafür ein C++ Programm, welches mittels einer for-Schleife die einzelnen Folgenglieder der Partialsumme formatiert auf 15 Stellen genau ausgibt und leiten Sie die berechneten Daten in eine Datei um. Die eigentliche Visualisierung machen Sie dann bitte unter Verwendung eines Python-Skriptes. Halten Sie bitte das Programm so allgemein, das man die konstante Variable $q$ direkt bei ihrer Deklaration zum Wert $q = \frac{8}{9}$ initialisiert. Stellen Sie die Folge der Partialsummen der Reihe gegen den Index n grafisch dar und vergleichen Sie das Konvergenzverhalten mit dem Grenzwert der unendlich geometrischen Reihe \[ \begin{equation} \sum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q},\quad \hbox{mit:} \quad q \in ℝ \,\, , \,\, \left| q \right| < 1 \quad . \end{equation} \]
Obwohl es bei der nummerischen Berechnung von Folgen und Reihen besser ist, eine for-Schleife zu verwenden (offensichtliche Schleifenvariable, Aktualisierung der Schleifenvariable am Ende des 'Anweisungsblockes') wurden die im Unterpunkt Anwendungsbeispiel: Folgen und Reihen dargestellten Folgen und Reihen mit einer while-Schleife programmiert. Schreiben Sie bitte das im Teilkapitel "Anwendung: Mathematische Reihen" vorgestellte C++ Programm ( While_2.cpp ) unter Verwendung einer for-Schleife um.
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke mittels eines C++ Programms und lassen Sie sich die berechneten Werte auf 15 Stellen genau ausgeben (benutzen Sie bei der Berechnung doppelte Maschinengenauigkeit und verwenden Sie eine geeignete Schleifenanweisung). \[ \begin{equation} \sum_{k=0}^{2536} \left( \frac{1}{2} \right)^k \quad,\quad \sum_{k=3}^{45} k^{\frac{3}{5}} \quad,\quad \sum_{k=-5}^{20} \frac{k^5}{e^{-k} + 1} \end{equation} \]
Berechnen Sie die ersten 40 Zahlenwerte der Fibonacci-Folge mittels einer for-Schleife. Die Fibonacci-Folge $f_n, n=[1,2,3,...]$ ist durch folgendes rekursives Bildungsgesetz definiert: \[ \begin{equation} f_n = f_{n-1} + f_{n-2} \,\, , \quad \hbox{mit den Anfangswerten: } \, f_1 = f_2 = 1 \end{equation} \] Zeigen Sie, dass das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Folge ($\frac{f_n}{f_{n-1}}$) im Grenzwert $\lim \limits_{n \to \infty}$ gegen die irrationale Zahl des Goldenen Schnitts $\Phi \approx 1.618033988749894848204586834$ konvergiert. Bemerkung: Der Goldene Schnitt ist in vielen Bereichen der Mathematik, Kunst, Architektur und Biologie von Bedeutung (näheres siehe z.B. Wikipedia: Goldene Schnitt).
Die Musterlösung der Aufgaben des Übungsblattes Nr. 3 finden Sie unter dem folgenden Link:
Musterlösung Übungsblatt Nr. 3